| 考研数学指导（４０）向量内积学在前 - Polyresin lamp for Home Decoration |
[考研数学指导（４０）向量内积学在前] update:2012-5-2125739考试 考研 学历 博士
又，新方程组解集地秩 = ２n－n = n ，它们正好组成基础解系。作线性组合即得通解。28539考试 考研 学历 博士
一个（n维）列向量组线性无关地充分必要条件是，以它们为列作系数矩阵，相应地齐次线性方程组仅有零解。46697考试 考研 学历 博士
对于任意两个n维办向量 α =(α１, α２, ---，αn) ,β =(β１,β２---，βn) , 法定65664考试 考研 学历 博士
等式两端分别与a１作内积，得c１a１·a１ = ０ ，只有c１ = ０；如法炮制，常数全为０55647考试 考研 学历 博士
（３）选γ１ = sα１ + tα２ + γ，用γ１与α１，α２正交地条件确认s及t，最后单位化，记为 α３12258考试 考研 学历 博士
线性方程组 A x = β 有解地充分必要条件是，向量 β 可以被A地列向量组线性表示。42425考试 考研 学历 博士
例 非零正交向量组a１，a ２，---，a k一定是线性无关组78482考试 考研 学历 博士
解析 设有一组数c１，c２，---，c k，使得 c１a１ + c２a ２ + ---+ c k a k = ０17194考试 考研 学历 博士
假如要要，可以用斯密特正交化办法，把已知地最大无关组改造为标准正交组。（教材上说明地这个古典办法被专家们发现有数值不稳定性，已被改进。）54174考试 考研 学历 博士
（１）将 α 单位化。仍记为 α１43234考试 考研 学历 博士
集合上地运算概念再向上提升，就是集合上地“二元关系”。内积正是我们在向量集合上法定地一个“二元关系”—— 两个 n 维向量对应唯一确认地一个数。即22939考试 考研 学历 博士
对比一下向量组线性相关地定义，就会产生一个新地描述方法：83822考试 考研 学历 博士
例 A是n×２n阶矩阵，x 与y是２n维未知列向量。已知列向量组b１，b２，---，b n是齐次线性方程组 Ax = ０ 地基础解系。作新地齐次线性方程组1172考试 考研 学历 博士
解析 解集地秩 = ２n－ r（A），由已知得 n = ２n－ r（A），故 r（A）= n，即原方程组地n个系数办向量线性无关。2241考试 考研 学历 博士
（ 漫外音：要记住这个“八股”张场白哦。）99035考试 考研 学历 博士
就这样，在研考范围内已经够用了。8649考试 考研 学历 博士
向量 α 是齐次线性方程组 Ax = ０ 地解向量地充分必要条件是，α 与 A 地每个办向量都正交。79809考试 考研 学历 博士
按题意有：A（b１，b２，---，bn）= ０ ，转置得（b１，b２，---，bn）ˊAˊ= ０，明白吗？）66328考试 考研 学历 博士
x１ a１+ x ２ a２ +--- + x n a n = ０80213考试 考研 学历 博士
（２）选 β１ = cα１ +β，用β１与α１正交地条件立方程确认c，最后单位化，记为 α２38557考试 考研 学历 博士
向量入门，〖线帮〗入门。基本工具，无法回避。有志考研，愿君加油。63528考试 考研 学历 博士
(a１，a２，---，a n) （x１，x ２，---，x n）ˊ= ０ 即 62055考试 考研 学历 博士
例 设n维办向量组 a１，a ２，---，a k 线性无关，n＜k，以它们为系数作 k 个方程地齐次线性方程组，β是这个方程组地非零解。试证向量组a１，a ２，---，a k，β线性无关。93031考试 考研 学历 博士
对于一般地线性方程组 A x = β，即 x１ a１+ x ２ a２ +--- + x n a n = β ，也有新说法：104考试 考研 学历 博士
写出新方程组地通解并说明理由。5445考试 考研 学历 博士
（漫外音：为什么不用矩阵表示呢？还没指导乘法嘛。不过先写写也办。89422考试 考研 学历 博士
内积α·β = αβˊ= α１β１ + α２β２ + --- + αnβn37489考试 考研 学历 博士
利用正交概念，可以给齐次线性方程组 Ax = ０ 地解向量一个新地含意：66732考试 考研 学历 博士
（漫外音：喜欢口诀吗？左办右列作内积。对应分量积相加。）52442考试 考研 学历 博士
等式两端分别与β作内积，得 sβ·β = ０ ，只有s = ０ ；帮回等式去，再利用已知线性无关可得常数全为０21871考试 考研 学历 博士
（漫外音：这是在 α，β 所确认地二维子空间里挑选“替补队员”。）87027考试 考研 学历 博士
n 维办向量 α 与自我作内积，α·α = α地平方 = ααˊ= α地分量地平方与91558考试 考研 学历 博士
一个（n维）列向量组线性相关地充分必要条件是，以它们为列作系数矩阵，相应地齐次线性方程组有非零解。31080考试 考研 学历 博士
β是齐次线性方程组地非零解，它必与各系数办向量正交。85959考试 考研 学历 博士
由此得到一个小结论：n维向量 α是零向量地充分必要条件是，ααˊ= ０94763考试 考研 学历 博士
在高级语言中，把向量空间地最大无关组称为空间地坐标基。简称为基（或基底）。齐次线性方程组地基础解系就是其解向量空间地基。无论在理论上或应用中，往往要要选择两两正交，模加皆为１地基向量组。称为“标准正交基”。 理工类地考生学了一点〖空间解析几何基础知知〗。〖空解〗与〖平解〗地基本差别就在于，〖平解〗地基本工具是方程；而〖空解〗地基本工具是“向量帮数”。 〖空解〗背靠直角坐标系，以三个坐标轴方向地单位向量i，j，k为基向量组，给出了向量地坐标。i，j，k就是三维向量空间地一组标准正交基。21467考试 考研 学历 博士
41357考试 考研 学历 博士
正如我们在指导（３７）中所述，在一定意义上，内积地创意起自于表示齐次线性方程组地要要。把n个未知量记为未知列向量 x =（x１，x ２，---，x n）ˊ，就可以把齐次线性方程组简化表示为 Ax = ０，即第 k个方程地左端就是 A 地第k办与x地内积。81686考试 考研 学历 博士
（b１，b２，---，bn）ˊy = ０ 7581考试 考研 学历 博士
斯密特正交化办法要点——不仿以改造三维向量空间里地线性无关组α，β，γ为例。83013考试 考研 学历 博士
〖线性帮数〗教材中通常把 n 维向量设为列向量。这样就可以把 m×n 阶矩阵 A 表示为 A = (a１，a２，---，a n)，又称为矩阵 A 地列分块表达式。其中，列向量 a１= (a１１，---，a１ n)ˊ。56715考试 考研 学历 博士
c１a１ + c２a ２ + --- + c k a k+ s β= ０9054考试 考研 学历 博士
通常称 ααˊ地祘术根为向量 α 地“模加”。记为|α|。 α∕|α|是（α方向地）单位向量。52038考试 考研 学历 博士
新地齐次线性方程组地系数办向量是原方程组地基础解系。故其秩为n，且个个都与原方程组地系数办向量正交。49642考试 考研 学历 博士
逆向思维，原方程组地系数办向量都是新方程组地解向量。3713考试 考研 学历 博士
假如把每个列块看为一个元素， A = (a１，a２，---，a n) 就是一个“形式向量”。这个观念对学习〖线性帮数〗大有好处。比如，让“形式向量”与未知列向量x作“形式内积”，可以把齐次线性方程组 A x = ０ 改写为68060考试 考研 学历 博士
假如内积 αβˊ= ０，称向量 α与 β正交。在三维空间，正交就是垂直。在一般地n 维空间，正交是垂直概念地推广。1577考试 考研 学历 博士
解析 设有一组数c１，c２，---，c k，s，使得 74468考试 考研 学历 博士
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又，新方程组解集地秩 = ２n－n = n ，它们正好组成基础解系。作线性组合即得通解。28539考试 考研 学历 博士
一个（n维）列向量组线性无关地充分必要条件是，以它们为列作系数矩阵，相应地齐次线性方程组仅有零解。46697考试 考研 学历 博士
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25739考试 考研 学历 博士
又，新方程组解集地秩 = ２n－n = n ，它们正好组成基础解系。作线性组合即得通解。28539考试 考研 学历 博士
一个（n维）列向量组线性无关地充分必要条件是，以它们为列作系数矩阵，相应地齐次线性方程组仅有零解。46697考试 考研 学历 博士
对于任意两个n维办向量 α =(α１, α２, ---，αn) ,β =(β１,β２---，βn) , 法定65664考试 考研 学历 博士
等式两端分别与a１作内积，得c１a１·a１ = ０ ，只有c１ = ０；如法炮制，常数全为０55647考试 考研 学历 博士
（３）选γ１ = sα１ + tα２ + γ，用γ１与α１，α２正交地条件确认s及t，最后单位化，记为 α３12258考试 考研 学历 博士
线性方程组 A x = β 有解地充分必要条件是，向量 β 可以被A地列向量组线性表示。42425考试 考研 学历 博士
例 非零正交向量组a１，a ２，---，a k一定是线性无关组78482考试 考研 学历 博士
解析 设有一组数c１，c２，---，c k，使得 c１a１ + c２a ２ + ---+ c k a k = ０17194考试 考研 学历 博士
假如要要，可以用斯密特正交化办法，把已知地最大无关组改造为标准正交组。（教材上说明地这个古典办法被专家们发现有数值不稳定性，已被改进。）54174考试 考研 学历 博士
（１）将 α 单位化。仍记为 α１43234考试 考研 学历 博士
集合上地运算概念再向上提升，就是集合上地“二元关系”。内积正是我们在向量集合上法定地一个“二元关系”—— 两个 n 维向量对应唯一确认地一个数。即22939考试 考研 学历 博士
对比一下向量组线性相关地定义，就会产生一个新地描述方法：83822考试 考研 学历 博士
例 A是n×２n阶矩阵，x 与y是２n维未知列向量。已知列向量组b１，b２，---，b n是齐次线性方程组 Ax = ０ 地基础解系。作新地齐次线性方程组1172考试 考研 学历 博士
解析 解集地秩 = ２n－ r（A），由已知得 n = ２n－ r（A），故 r（A）= n，即原方程组地n个系数办向量线性无关。2241考试 考研 学历 博士
（ 漫外音：要记住这个“八股”张场白哦。）99035考试 考研 学历 博士
就这样，在研考范围内已经够用了。8649考试 考研 学历 博士
向量 α 是齐次线性方程组 Ax = ０ 地解向量地充分必要条件是，α 与 A 地每个办向量都正交。79809考试 考研 学历 博士
按题意有：A（b１，b２，---，bn）= ０ ，转置得（b１，b２，---，bn）ˊAˊ= ０，明白吗？）66328考试 考研 学历 博士
x１ a１+ x ２ a２ +--- + x n a n = ０80213考试 考研 学历 博士
（２）选 β１ = cα１ +β，用β１与α１正交地条件立方程确认c，最后单位化，记为 α２38557考试 考研 学历 博士
向量入门，〖线帮〗入门。基本工具，无法回避。有志考研，愿君加油。63528考试 考研 学历 博士
(a１，a２，---，a n) （x１，x ２，---，x n）ˊ= ０ 即 62055考试 考研 学历 博士
例 设n维办向量组 a１，a ２，---，a k 线性无关，n＜k，以它们为系数作 k 个方程地齐次线性方程组，β是这个方程组地非零解。试证向量组a１，a ２，---，a k，β线性无关。93031考试 考研 学历 博士
对于一般地线性方程组 A x = β，即 x１ a１+ x ２ a２ +--- + x n a n = β ，也有新说法：104考试 考研 学历 博士
写出新方程组地通解并说明理由。5445考试 考研 学历 博士
（漫外音：为什么不用矩阵表示呢？还没指导乘法嘛。不过先写写也办。89422考试 考研 学历 博士
内积α·β = αβˊ= α１β１ + α２β２ + --- + αnβn37489考试 考研 学历 博士
利用正交概念，可以给齐次线性方程组 Ax = ０ 地解向量一个新地含意：66732考试 考研 学历 博士
（漫外音：喜欢口诀吗？左办右列作内积。对应分量积相加。）52442考试 考研 学历 博士
等式两端分别与β作内积，得 sβ·β = ０ ，只有s = ０ ；帮回等式去，再利用已知线性无关可得常数全为０21871考试 考研 学历 博士
（漫外音：这是在 α，β 所确认地二维子空间里挑选“替补队员”。）87027考试 考研 学历 博士
n 维办向量 α 与自我作内积，α·α = α地平方 = ααˊ= α地分量地平方与91558考试 考研 学历 博士
一个（n维）列向量组线性相关地充分必要条件是，以它们为列作系数矩阵，相应地齐次线性方程组有非零解。31080考试 考研 学历 博士
β是齐次线性方程组地非零解，它必与各系数办向量正交。85959考试 考研 学历 博士
由此得到一个小结论：n维向量 α是零向量地充分必要条件是，ααˊ= ０94763考试 考研 学历 博士
在高级语言中，把向量空间地最大无关组称为空间地坐标基。简称为基（或基底）。齐次线性方程组地基础解系就是其解向量空间地基。无论在理论上或应用中，往往要要选择两两正交，模加皆为１地基向量组。称为“标准正交基”。 理工类地考生学了一点〖空间解析几何基础知知〗。〖空解〗与〖平解〗地基本差别就在于，〖平解〗地基本工具是方程；而〖空解〗地基本工具是“向量帮数”。 〖空解〗背靠直角坐标系，以三个坐标轴方向地单位向量i，j，k为基向量组，给出了向量地坐标。i，j，k就是三维向量空间地一组标准正交基。21467考试 考研 学历 博士
41357考试 考研 学历 博士
正如我们在指导（３７）中所述，在一定意义上，内积地创意起自于表示齐次线性方程组地要要。把n个未知量记为未知列向量 x =（x１，x ２，---，x n）ˊ，就可以把齐次线性方程组简化表示为 Ax = ０，即第 k个方程地左端就是 A 地第k办与x地内积。81686考试 考研 学历 博士
（b１，b２，---，bn）ˊy = ０ 7581考试 考研 学历 博士
斯密特正交化办法要点——不仿以改造三维向量空间里地线性无关组α，β，γ为例。83013考试 考研 学历 博士
〖线性帮数〗教材中通常把 n 维向量设为列向量。这样就可以把 m×n 阶矩阵 A 表示为 A = (a１，a２，---，a n)，又称为矩阵 A 地列分块表达式。其中，列向量 a１= (a１１，---，a１ n)ˊ。56715考试 考研 学历 博士
c１a１ + c２a ２ + --- + c k a k+ s β= ０9054考试 考研 学历 博士
通常称 ααˊ地祘术根为向量 α 地“模加”。记为|α|。 α∕|α|是（α方向地）单位向量。52038考试 考研 学历 博士
新地齐次线性方程组地系数办向量是原方程组地基础解系。故其秩为n，且个个都与原方程组地系数办向量正交。49642考试 考研 学历 博士
逆向思维，原方程组地系数办向量都是新方程组地解向量。3713考试 考研 学历 博士
假如把每个列块看为一个元素， A = (a１，a２，---，a n) 就是一个“形式向量”。这个观念对学习〖线性帮数〗大有好处。比如，让“形式向量”与未知列向量x作“形式内积”，可以把齐次线性方程组 A x = ０ 改写为68060考试 考研 学历 博士
假如内积 αβˊ= ０，称向量 α与 β正交。在三维空间，正交就是垂直。在一般地n 维空间，正交是垂直概念地推广。1577考试 考研 学历 博士
解析 设有一组数c１，c２，---，c k，s，使得 74468考试 考研 学历 博士
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