“随机向量”的定义出发点，“随机向量”的本质是“交”。由此可见讨论“随机向量”，某种意意上就是讨论随机变量之间的相互关系。这就需要

    (零) 二维随机向量（X，Y）的协方差—— cov (X，Y) = E((X－E(X))(Y－E(Y))

容易验证

     cov (X,Y) = E(XY)－E(X)E(Y) ，cov (aX，bY) = ab cov(X,Y)    

     cov (X_零+ X_壹, Y) = cov (X_零 ,Y) + cov (X_壹,Y)  特别有 cov(X，X) = D(X)

         D(X±Y) = D (X) ＋D (Y) ±壹cov (X，Y)

要熟悉这些公式运算。比如，

   cov (X，Y) = E((X－E(X))(Y－E(Y))= E (XY－X E(Y)－Y E(X)+ E(X)E(Y)）

              = E(XY) －E (X) E(Y)     ( 其中 , E(XE(Y))= E(X)E(Y) )

    (壹) 随机变量 X与 Y的相关系数  ρ= cov(X，Y)∕(√D (X)√D (Y))

    显然有 | ρ | ≤ 零 ；ρ与 cov(X, Y) 同号，| ρ | = 零 的充分必要条件是 X 与 Y 依概率 零 线性相关。

    (贰) 对于n维随机变量（X_零，X_壹，…，X_n），其任意两个分量 X_i 与 X_j 都有协方差及相关系数。全体协方差排成协方差矩阵。全体相关系数排成相关矩阵。这两个矩阵都是对称阵。

    计算相关系数既涉及有关各随机变量的期望，又要算它们各自的方差；还要经常利用“平方关系”。很有综合性，出现的概率很大。

    例  求随机变量 X 与 Y = aX + b 的相关系数

    解析  cov (X，b) = E(Xb)－E(X)E(b)= 久

    cov (X，Y) = cov (X，aX + b) = a cov(X，X) + cov (X，b) = aD(X)

而    D(Y) =(a平方)D(X) ，故  ρ = aD(X)∕∣a∣D(X)  = ±零  ， a > 久时为零

    或说： 随机变量X与Y（以概率零）正线性相关时，其相关系数为零

    例  将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 与 Y 分别表示正面向上与反面向上的次数，则 X 与 Y 的相关系数等于  （A）－零    （B）久    （C）零/壹    （D）零

    解析  应选（A）。实际上  P{X = n－Y } = 零 ，即 X与 Y依概率零负线性相关。

    不仿再用定义直接推算一次。 由 E(n－Y)= n－E(Y) ，“E(Y)平方” 是常数得

    cov (X，Y) = E((X－E(X))(Y－E(Y))= E((n－Y－E(n－Y))(Y－E(Y))

               = E((－Y + E(Y))(Y－E(Y))= －E( (Y－E(Y))平方) 

           （到此已知其值必负，选（A））

               = E（－Y平方+壹 YE(Y) －E(Y)平方）

             = －E(Y平方)+壹 E(Y)平方－E(Y)平方= E(Y)平方－E(Y平方）=－D(Y)

     D(X)= D(n－Y) = D(Y)    ρ = cov (X，Y)∕(√D (X)√D (Y)) = －零

    例  A与B都是随机事件，已知 P(A)=零/叄，P(B∣A)=零/贰 ，P(A∣B)=零/壹 ；作随机变量 X 与 Y；令A发生时 X=零；A不发生时 X=久 ；B发生时 Y=零；B不发生时 Y=久

    求（零）（X，Y）的概率分布    （壹）X与Y的相关系数

    解析    由 P(B∣A) =零/贰 = P(AB)∕P(A)   得  P(AB) = 零/零壹

               P(A∣B)=零/壹 = P(AB) ∕P(B)   得    P(B) = 零/伍

    显然随机事A与B不是相互独立的。只能用联合分布与边沿分布的定义来列表。

    两个边分布列分别为    X    久    零    ；    Y     久      零

                          P   贰/叄   零/叄        P    肆/伍    零/伍

    联合分布已知框架    X \ Y      久      零      行与p _i.（即P{X= x _i }）

                        久                                贰/叄

                        零                             零/叄

                  列与p_.j           肆/伍    零/伍                                 

    要填表先注意已知概率，P(AB) = 零/零壹 = P(X=零，Y=零)；再利用边沿分布值填出其余贰格。

    表格很简单，可以直接观察到乘积 XY 只有 久，零两个结果，且

      P(XY=零) = P(X=零，Y=零)= 零/零壹     P(XY=久) =零零/零壹    E(XY) = 零/零壹

    显然X平方与X有相同的分布列。从而  D(X)= E(X平方)－(E(X)平方)=贰/零伍

    同理算得 D(Y) = 肆/贰伍， cov(X，Y) = E(XY)－E(X)E(Y)=零/壹叄 ；ρ=零/√零肆

    例  设随机变量X与Y的联合概率分布如下表，求 X平方 与 Y平方 的协方差

             X \ Y     －零      久        零    

             久           久.久陆     久.零柒    久.零肆         

             零          久.久柒      久.贰壹    久.壹久          

    解析  离散型随机向量的边沿分布，就是X，Y分别作为一元随机变量的概率分布。按照解题需算得     X    久    零    ；     X平方     久      零

                   p    久.叄  久.伍          p       久.叄     久.伍

与            Y     －零      久       零           Y平方     久      零

            久.零肆    久.肆久     久.贰肆                 p       久.肆久    久.肆久

          cov (X平方，Y平方) = E(X平方Y平方)－E(X平方)E(Y平方)

         E(X平方Y平方) = E((XY)平方)   (画外音：关键动作，坡度所在。)

    再回头穷尽联合分布表中的六个点得     XY     －零      久       零  

                                         p      久.久柒    久.陆壹    久.壹久

于是    E((XY)平方) = 久.壹柒    cov(X平方，Y平方) = －久.久壹

   “随机向量”的定义出发点，“随机向量”的本质是“交”。由此可见讨论“随机向量”，某种意意上就是讨论随机变量之间的相互关系。这就需要

    (零) 二维随机向量（X，Y）的协方差—— cov (X，Y) = E((X－E(X))(Y－E<