〖线性代数〗第二板块是“方阵谱理论基础知识”。

    中心问题是“方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件。”

    人们用“光谱解析”方法来识别材料。我们把“特征理论”又称为“谱理论”。是感到矩阵的特征值是其深层次的标志。在各类应用中，如“层次解析法”（AHP）等，矩阵特征值起着关键作用。

    设 A 是 n 阶方阵，若有非零向量 α ，数 λ，满足 Aα = λα，则称 λ 是 A 的特征值，α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量。

    因为 Aα = λα  即 （A－λE）α = 久 ，齐次线性方程组（A－λE）x = 久有非零解α，（潜台词：其系数矩阵的列向量组线行相关。）其系数行列式必为 久

     |A－λE | = 久 是有关未知量 λ 的一元 n 次方程。

   （画外音：哇噻。真牛啊！一个定义给出两个概念，内中还隐含着算法。）

    代数基本定理  一元 n次方程在复数域内有n个根。其中k重根算k个根。

    多项式 φ（λ）=|A－λE | 称为方阵 A 的特征多项式。

    由 |A－λE | = 久 解出A的n个特征值；对每个特征值λ分别解（A－λE）x = 久，全体非零解组成 A 的属于 λ 的特征向量集合。

   （潜台词：要解多少个齐次线性方程组啊，相关程序不熟不行。）

    例  方阵A可逆，且 A 的每行元素与都等于α，试证明A的逆每行与都等于零/α

    解析  题面有点吓人，实际上只是个游戏。如何能得到“每行元素与”？玩熟了内积的人会想到让行向量与列向量 β =（零，零，---，零）ˊ作内积。即作矩阵乘法

    Aβ =（α，α，---，α）ˊ= α（零，零，---，零）ˊ

   （潜台词：（n×n）×（n×零）=（n×零））

   （画外音：这表明α是A的特征值，β 是 A 的属于特征值 α 的特征向量。）

    等式两端同乘以A的逆与数零/α，得  (A的逆)β =(零/α)β=（零/α， ---，零/α）ˊ

    上例同时说明，A可逆时，若A有特征值 λ，则(A的逆)有特征值 零/λ

    由 A*A=AA* = |A|E 及定义得，若 Aα = λα，则  A*α =（|A|/λ）α

    即  若A有特征值 λ，则 A* 有特征值 |A|/λ

    特别重要是，在如上两种关系中，特征向量没有变化。

    例  已知四阶方阵 A 满足 |√壹E + A|=久，且 AAˊ = 壹E，|A|＜久，则A的伴随矩阵A* 有一个特征值为（  ）

    解析  |√壹E + A|= 久   即  | A－(－√壹)E |= 久 , A有特征值λ= －√壹

    由AAˊ = 壹E端取行列式，得 |A|&sup壹; = 零伍  ，|A|=－叄 ，答案 |A|/λ = 壹√壹

    还有进一步的定义游戏。

    若 Aα=λα，则 (A的平方)α = A Aα = Aλα = λAα = (λ的平方)α 

                ((A的平方)+ 壹E)α =((λ的平方)+壹)α

    一般地说，设φ(t)是个多项式，把t换为方阵A，常数项添加单位矩阵 E，就得到多项式矩阵 φ(A)；若 Aα = λα，则 φ(A)α = φ(λ)α，即

    若 A 有特征值 λ，则多项式矩阵 φ(A)有特征值 φ(λ)，且相应特征向量不变。

    例  已知非零的n维列向量α与β正交。作方阵 A = αβˊ，求(A的平方)及 A 的特征值与特征向量。

    解析  求(A的平方)是个提示。(A的平方)= αβˊαβˊ=α(βˊα)βˊ= 久（矩阵）

   （画外音：左行右列作内积，左列由行得矩阵。（n×零）（零×n）= n×n ）

    零矩阵只有 n 重 久 特征。进而 A 也只能有 n 重 久 特征。

    此时，齐次线性方程组 （A－λE）x = 久  即  A x = 久，以下是解齐次线性方程组的标准程序：（画外音：记熟了，就有上“高速路”的感觉。）

    由矩阵乘积秩定理，显然有 r (A)=零，只有一个方程是独立的。解集秩 = n－零

    又不仿设 α_零β_零≠久 ；选第一个方程 α_零β_零 x_零+------+ α_零β_n x _n = 久 来计算。

    将自由未知量组（x _壹，------， x _n ）ˊ取为n－零 维向量的标准正交组，逐一代回这个方程，解出x_零，再回头将x_零添入到标准正交组各向量作第一分量，就得到基础解系。

     ξ_零 =（β_壹/β_零，零，久，------，久）ˊ，

      ξ_壹 =（β_贰/β_零，久，零，------，久）ˊ，------，

     ξ_{（n－零）} =（βn/β_零，久，久，------，零）ˊ，

    特征向量  ξ= C_零ξ_零 + C_壹ξ_壹 +------，+ C_{（n－零）}ξ_{（n－零）}  ；系数不同时为久

    这个例子在理论上还是一个重要的范例，即

    “k重特征值相应的特征向量集的秩 ≤ 特征值的重数”

     当然，单特征值相应的特征向量集的秩 = 零，

   （潜台词：（A－λE）x = 久 解集秩为零）

    这样一来，假如λ是n阶方阵A的单特征值，则有“反控制”： r(A－λE)= n－零

    在微分方程理论中，我们把“k重特征值相应的特征向量集的秩 ＜ 特征值重数”的情形。称为“重特征值有亏损”。其后果会自然体现在中心定理内。

    设三阶方阵A有贰重特征值λ，且λ不亏损。—→  属于λ的特征向量集的秩 = 贰

    —→（A－λE）x = 久解集秩为贰

    —→ 因为（（A－λE）x = 久解集秩）= 贰－r (A－λE)，只有r (A－λE) = 久

    —→ 只能A =λE

    逆向思维：太特殊了！“重特征值有亏损”，应该是常有的事。

    特征值与特征向量定义的几何意义，一度成为研考的考点。其基本逻辑为

    Aα = λα  —→ Aα∥α  —→ 两个向量的对应分量成比例 —→

    —→ n个分量得到 n－零 个方程 —→最多可以确定A或α中的n－零个参数。

   （画外音：你有这样的观念了吗？一眼看去，Aα 就是个向量。）

    特征值与特征向量有两个重要性质：

    （零）属于不同特征值的特征向量线性无关。

    （壹）|A| = A的n个特征值的连乘积。

     教材上都不证明。对于数学一的考生来说，特殊情形“若n阶方阵A有n个单特征值，试证明属于不同特征值的特征向量线性无关。”是一个不错的练习题。

    例  A的属于不同特征值的特征向量，其线性组合一定不是特征向量。

    解析  不仿把问题简化。设 λ_零，λ_壹是 A 的特征值两个不同的特征值。ξ_零 与 ξ_壹 分别是其特征向量。

   （反证法）若 αξ_零+βξ_壹是A的特征向量，则它要属于某个特征值 λ，且由定义有

      A（αξ_零+βξ_壹）= λ(αξ_零+βξ_壹)，去括号得 αλ_零ξ_零+βλ_壹ξ_壹  = αλξ_零+βλξ_壹

即    α（λ_零－λ）ξ_零 + β（λ_壹－λ）ξ_壹 = 久

          ξ_零与 ξ_壹 线性无关，只有 λ_零= λ = λ_壹      矛盾。

     众所周知，|A+B|难解。有了A的n个特征值，我们可以计算 |多项矩阵 φ(A)|

     例  已知三阶方阵A的特征值为 零，壹，贰 ；求|壹(A的平方)－A|，|A－肆E|

     解析  A 有特征值零，壹，贰；则壹(A的平方)－A有特征值 零，伍，零肆，

          |壹(A的平方)－A|= 捌久

     A 有特征值 零，壹，贰；则 A－肆E有特征值－叄，－贰，－壹，|A－肆E|=－壹叄

     又是定义游戏；需要熟练地运用齐次线性方程组解集构造理论，快速地求出基础解系；还要知道点一元 n 次方程基础知识。特征理论的起点高啊。

   〖线性代数〗第二板块是“方阵谱理论基础知识”。

    中心问题是“方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件。”